Диофантовы приближения с приводимыми многочленами

Abstract

Первой теоремой в теории диофантовых приближений явилась теорема Дирихле 1842 года. До недавнего времени основное внимание уделялось приближениям неприводимых многочленов, поскольку хорошо известен инструментарий для их изучения. В ряде задач требовалось осуществить переход от произведений неприводимых многочленов (т.е., исходных приводимых многочленов) к оценке значений одного или нескольких из них. Однако такой переход можно было осуществить не во всех задачах диофантовых приближений. В данной работе предложен новый метод получения результатов о приближениях нуля значениями приводимых многочленов. Причем результат зависит от количества неприводимых многочленов в разложении. Таким образом, получено усиление леммы Берника и Додсона, изложен­ной в их монографии “Metric Diophantine approximation on manifolds” (Кембридж, 1999 г.) Статья относится к метрической теории диофантовых приближений. Основным результатом является аналог теоремы Спринджука для случая приводимых многочленов. Доказательство основано на рассмотрении некоторого делителя исходного приводимого полинома в различных случаях, описывающих соотношение между малостью данного неприводимого многочлена, его степенью и высотой.