Распределение дискриминантов целочисленных многочленов

Abstract

Понятие дискриминанта многочлена наряду со степенью и высотой принадлежит к одной из самых важных характеристик многочлена. Дискриминант многочлена произвольной степени наследует главное свойство многочлена второй степени: наличие кратных корней при дискриминанте, равном нулю. Для многочлена степени n можно сразу записать явный вид дискриминанта, найти же точное значение можно только через (2n-1)! операций. Уже при n>100 эта задача для многочленов с большими коэффициентами недоступна для самых современных компьютеров. В работе изучается распределение значений дискриминантов многочленов специального вида с целыми коэффициентами. Используя методы теории диофантовых приближений, удалось доказать существование многочленов с относительно малыми дискриминантами. Этот результат практически не улучшаем, то есть внутри интервала, несколько меньшей длины, значений дискриминантов нет.