О малых значениях монических многочленов на коротких интервалах

Abstract

Исследована задача о приближении произвольного действительного числа значениями целочисленных монических многочленов. Согласно уже построенной теории для многочленов с произвольными старшими коэффициентами в работах В. Г. Сприн-джука, В. И. Берника, В. В. Бересневича, доказывается случай сходимости теоремы А.Я. Хинчина в задаче приближения нуля моническими многочленами. Рассматривается обобщение результата, что два целочисленных многочлена без общих корней не могут принимать на отрезке малой длины слишком малые значения для монических полиномов. В случае монических многочленов и приближений действительных чисел целыми алгебраическими числами перестают действовать многие классические методы. Случай монических многочленов в чем-то аналогичен теореме Кубилюса для произвольных старших коэффициентов у многочленов второй степени, однако здесь возникают значительные технические трудности.

Доказательство теоремы основано на леммах оценок расстояний между аргументом и его корнем, а также леммах о корнях многочленов, их произведениях и количестве на заданном множестве. Леммы позволяют сделать точное покрытие множеств чисел с заданным порядком аппроксимации.